//Le pasamos el numero, una posicion y la variable min.
int MenorDigito (string num, int index, int min)
{
//condicion de parada
if ( index >= num.Length )
return min;

//actualizo el minimo si es necesario
if ( min> int.Parse(num[index]) )
min= int.Parse(num[index]

//Aqui va la llamada recursiva
return MenorDigito(num, index+1, min)

}

Noten que uso el metodo int.Parse() para convertir de string a entero.