Criterio de divisibilidad por 3. Demostración

Mar 7, 2010 General 52 comentarios

Seguramente te ha pasado, que en alguna(s) clase(s) de matemática, el profesor empieza a dictar algunas propiedades y teoremas que cumplen los números naturales, y cuando les preguntamos de donde salen, nos dicen que están apurados o cambian el tema. Pues en esta serie de posts les mostrare algunas demostraciones de propiedades y teoremas que nos hicieron aprender (a veces hasta de memoria) y usar, sin saber de donde venían ni por que se cumplían

Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Ejemplo
Veamos si el numero 1731564 es divisible por 3.
Según el teorema anterior, 1+7+3+1+5+6+4=27, pero 27 es divisible por 3 (27=9*3), por tanto, el número 1731564 es divisible por 3.

También hay que  subrayar que se cumple en el otro sentido, o sea, si un número es divisible por 3, entonces la suma de sus dígitos es divisible entre 3.

Demostración

Para hacer la demostración formal, habría que demostrar dos cosas (ya que hablamos de una doble implicación <=>).

1.
Demostraremos primeramente que si 3|n => 3 divide a la suma de sus dígitos (de n).
Sean a0, a1, a2, a3,…, ak, los dígitos de n.
Sabemos que todo numero n de k cifras, se puede escribir como:
n= a0 + a1*10 + a2*100 + … + ak * 100…0  (ej. 132=100 + 30 + 2)
luego, partimos de que 3|n (3 divide a n), y por tanto:
3| a0 + a1*10 + a2*100 + … + ak * 100…0  (planteamos la división que tenemos por dato)

*Ahora el gran truco de la demostración. Lo que hacemos es descomponer todo numero de la forma 10k como 9999…9 +1, donde el 9 se repite k veces. Luego:
3| a0 + a1*(9+1)1 + a2*(99+1) + … + ak *(999…9+1)  (descomponiendo)
3| a0 + 9a1 + a1 + 99a2 + a2 + … + 9999…9ak + ak (aplicando propiedad distributiva)
3| (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9a1 + 99a2 + 999a3 + … + 9999…9ak       (agrupando)
3| (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak) (sacando factor común)

Ahora utilizaremos una propiedad de divisibilidad que no se ve mucho en los libros:
Si a|b+c y a|c, entonces a|b (si a divide a b+c, y a divide a c, entonces necesariamente a|b)
Tomando:
b + c = n =  (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak)
c = 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak)
b = (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak)

Tenemos por dato que 3|n,
además esta claro que 3|9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak), ya que 3|9,
por tanto utilizando la propiedad anterior, necesariamente:
3 | a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak, que no es mas que la suma de los dígitos de n.

2. La segunda parte de la demostración es muy parecida a esta, pero de atrás hacia delante. Es valido aclarar que a mi no se me ocurrió esta demostración, y hay muchas formas de demostrar esta propiedad (por inducción, etc), pero esta es una bastante original. Si quieres compartir alguna otra solución o tienes alguna duda, puedes hacerlo en los comentarios.
Bonita demostración verdad?

Ahora ya puedes explicarle a quien sea el por que un n’umero es divisible por 3 si y solo si es divisible por la suma de sus dígitos.

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52 comentarios

Forma parte de nuestra discusión y síguela de cerca

demostración de divisibilidad de 4 ?

Autor: barbara maltes | Fecha: Jun 17, 2016.

Hola necesito hacer una demostración del siguiente criterio

Un número de tres cifras es divisible por 6 si es divisible por 6 el número que resulta de: sumar las cifras de las centenas y de las decenas, multiplicar ese resultado por 4 y sumar a ese producto la cifra de las unidades

Me puedes ayudar?

Autor: Mar | Fecha: Oct 4, 2016.

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