Criterio de divisibilidad por 3. Demostración

Mar 7, 2010 General 44 comentarios

Seguramente te ha pasado, que en alguna(s) clase(s) de matemática, el profesor empieza a dictar algunas propiedades y teoremas que cumplen los números naturales, y cuando les preguntamos de donde salen, nos dicen que están apurados o cambian el tema. Pues en esta serie de posts les mostrare algunas demostraciones de propiedades y teoremas que nos hicieron aprender (a veces hasta de memoria) y usar, sin saber de donde venían ni por que se cumplían

Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Ejemplo
Veamos si el numero 1731564 es divisible por 3.
Según el teorema anterior, 1+7+3+1+5+6+4=27, pero 27 es divisible por 3 (27=9*3), por tanto, el número 1731564 es divisible por 3.

También hay que  subrayar que se cumple en el otro sentido, o sea, si un número es divisible por 3, entonces la suma de sus dígitos es divisible entre 3.

Demostración

Para hacer la demostración formal, habría que demostrar dos cosas (ya que hablamos de una doble implicación <=>).

1.
Demostraremos primeramente que si 3|n => 3 divide a la suma de sus dígitos (de n).
Sean a0, a1, a2, a3,…, ak, los dígitos de n.
Sabemos que todo numero n de k cifras, se puede escribir como:
n= a0 + a1*10 + a2*100 + … + ak * 100…0  (ej. 132=100 + 30 + 2)
luego, partimos de que 3|n (3 divide a n), y por tanto:
3| a0 + a1*10 + a2*100 + … + ak * 100…0  (planteamos la división que tenemos por dato)

*Ahora el gran truco de la demostración. Lo que hacemos es descomponer todo numero de la forma 10k como 9999…9 +1, donde el 9 se repite k veces. Luego:
3| a0 + a1*(9+1)1 + a2*(99+1) + … + ak *(999…9+1)  (descomponiendo)
3| a0 + 9a1 + a1 + 99a2 + a2 + … + 9999…9ak + ak (aplicando propiedad distributiva)
3| (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9a1 + 99a2 + 999a3 + … + 9999…9ak       (agrupando)
3| (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak) (sacando factor común)

Ahora utilizaremos una propiedad de divisibilidad que no se ve mucho en los libros:
Si a|b+c y a|c, entonces a|b (si a divide a b+c, y a divide a c, entonces necesariamente a|b)
Tomando:
b + c = n =  (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak) + 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak)
c = 9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak)
b = (a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak)

Tenemos por dato que 3|n,
además esta claro que 3|9(a1 + 11a2 + 111a3 + … + 1111…1ak), ya que 3|9,
por tanto utilizando la propiedad anterior, necesariamente:
3 | a0 + a1 + a2 + a3+…+ ak, que no es mas que la suma de los dígitos de n.

2. La segunda parte de la demostración es muy parecida a esta, pero de atrás hacia delante. Es valido aclarar que a mi no se me ocurrió esta demostración, y hay muchas formas de demostrar esta propiedad (por inducción, etc), pero esta es una bastante original. Si quieres compartir alguna otra solución o tienes alguna duda, puedes hacerlo en los comentarios.
Bonita demostración verdad?

Ahora ya puedes explicarle a quien sea el por que un n’umero es divisible por 3 si y solo si es divisible por la suma de sus dígitos.

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44 comentarios

Forma parte de nuestra discusión y síguela de cerca

Que recuerdos me trae este post…. el instituto… jejeje

Autor: Ginés | Fecha: Abr 12, 2010.

#Puntopeek Criterio de divisibilidad por 3. Demostración http://bit.ly/cygCrL

Autor: TecnoNator | Fecha: May 13, 2010.

cuales son

Autor: laura stefany | Fecha: May 24, 2010.

hola mando esto porque me gusta la pagina

Autor: sofia | Fecha: Jul 23, 2010.

hola, me gustaria saber como demuestro que la sume de 3 numeros consecutivos es divible por 3

Autor: Patricia | Fecha: Sep 8, 2010.

Hola Patricia, podemos ver la suma de 3 numero sonsecutivos como a0+a0+1 +a0+2, si agrupamos nos queda 3a0 +3, sacando factor común: 3(a0+1), luego 3 divide la suma de 3 numeros consecutivos.
Saludos, y espero haberte ayudado. Cualquier duda, me comentas.

Autor: Tomy | Fecha: Sep 8, 2010.

komo se puede demostrar facilmente el criterio del 6

Autor: ivan | Fecha: Sep 23, 2010.

Ivan, un número es divisible por 6 si es divisible por 3 y es divisible por 2 verdad?

Sabemos que un número es divisible por 2 si el último digito es par, luego un número n será divisible por 6 si la suma de sus dígitos es divisible por 3 y además, el ultimo dígito es un numero par (incluyendo el 0).

Ahora trata de hacer esta demostración un poco más formal, utilizando la idea de este mismo ejercicio y si quieres la compartes con nosotros.

Autor: Tomy | Fecha: Sep 23, 2010.

Hola alquien me puede ayudar a demostrar el criterio de divisibilidad del 7.
quisiera saber de donde esque salen estos numeros (+)132 (-)132 para dicho criterio

Autor: diego valverde | Fecha: Oct 2, 2010.

deberian de poner mas cosas pero me gusta

Autor: nicole | Fecha: Feb 7, 2011.

Nicole, a que te refieres con poner más cosas? faltan cosas en la demostración?

Autor: Tomy | Fecha: Feb 7, 2011.

Yo ya había pensado en esta misma demostración, pero no sabía ni cómo explicarla ni cómo pasarla al lenguaje formal, enserio me sirvió mucho

Autor: Rimusa | Fecha: Feb 13, 2011.

hola, solo queria saber cuando un número es divisible por 300. Me gusta su página

Autor: catalina | Fecha: May 5, 2011.

Un número es divisible por 300 si es divisible por 100 y por 3. En este post vimos cuando un número es divisible por 3. Por otro lado, un número es divisible por 100 si las dos ultimas cifras del número son 0s. Concluyendo, un número es divisible por 300 si las suma de sus dígitos es divisible por 3 y termina en 00.

Autor: Tomy | Fecha: May 6, 2011.

que chebere todo esto, alguien me podría explicar la divisibilidad por 11

Autor: liseth | Fecha: May 9, 2011.

Quisiera saber el código de divisibilidad por 100, voy a 5 to año por favor contestar a la brevedad (5to de primaria)

Autor: solchu | Fecha: Jul 4, 2011.

Hola solchu, ese es bastante fácil: Un número es divisible por 100 si y solo si el número termina en los dígitos 00. Buena suerte y sigue estudiando!

Autor: Tomy | Fecha: Jul 4, 2011.

muchisimas gracias tomy!

Autor: solchu | Fecha: Jul 4, 2011.

disculpa que pregunte tanto pero me podrias explicar el código de dibisivilidad por 3 porqué no lo entiendo …mil disculpas por ser tan pesada bs !
DESDE YA MIL DISCULPAS

Autor: solchu | Fecha: Jul 4, 2011.

voy de nuevo solchu, un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, si tenemos este número 2145766432.
Como saber si es divisible por 3? pues sumamos todos los dígitos:
2+1+4+5+7+6+6+4+3+2=40, pero 40 no es divisible entre 3 verdad? entonces el número 2145766432 tampoco es divisible por 3. El teorema además de dar una condición necesaria y suficiente es un algoritmo.

Autor: Tomy | Fecha: Jul 10, 2011.

Oye yo voy empezando en las demostraciones y entendi completamente lo que acabas de demostrar.
Sin embargo al momento de querer hacerlo de manera inversa (demostrar que la suma de los digitos es multiplo de 3) no lo puedo hacer… espero me puedas dar una idea o ser mas especifico en el post para hacerlo de regreso… ¡GRACIAS!

Autor: Pelcastre JB | Fecha: Ago 14, 2011.

mm no les entiendo las matematicas no son para mi jeje

Autor: javi | Fecha: Ago 23, 2011.

Cuales son los divisores de 30 40 36 54 y 68 ?¿

Autor: Albertina | Fecha: Ago 30, 2011.

Supongo que quieras preguntar los divisores de todos los numeros a la vez, sino es algo muy trivial, ya que solo hay que descomponer los números en factores primos. Luego, voy a suponer lo primero.

Tenemos que si un número divide a 30 40 36 54 y 68, a la vez, entonces divide al máximo común divisor de todos ellos. Luego, tenemos que calcular primeramente el maximo comun divisor, que denotamos por MCD(30, 40, 36, 54, 68). Por otro lado tenemos un teorema que dice que:
MCD(30, 40, 36, 54, 68)= MCD(30, MCD(40, 36, 54, 68)), entonces primeramente calculamos:
mcd(30, 40) = 10
mcd(10, 36)= 2
mcd(2,54)= 2
mcd(2, 68)= 2
Luego esos números en conjunto tienen 2 divisores: los números 1 y 2.

Para calcular el MCD en cada caso, utilicé por supuesto el teorema de Euclides: mcd(a, b) = mcd(a, a%b), o sea el maximo comun divisor entre dos numeros es igual al mcd de ese numero y el resto entre dividir el mayor entre el menor. Espero haberte ayudado

Autor: Tomy | Fecha: Sep 1, 2011.

hola..queria saber si podrias publicar la demostracion del criterio de divisibilidad por 5.
muchas gracias!

Autor: Agustin | Fecha: Sep 6, 2011.

Te agradezco la información, la demostración es bellísima. Hice alguna pequeña corrección en cuando al número de dígitos que en verdad no es k sino k+1, y agregué también algún comentario a la capacidad recursiva de esta regla. Si lo prefieres, envíame tu e-mail y te lo mando.
Saludos y gracias.

Autor: Jose Luis PEREZ | Fecha: Feb 5, 2012.

Gracias por el aporte Jose Luis, yo también creo q es una excelente demostración y muy intuitiva… si quieres envíame los cambios a mi correo tom.sarduy[arroba].gmail.com

Autor: Tomy | Fecha: Feb 5, 2012.

!Hola!, me gusto mucho tu demostracion, veras yo soy matematico (bueno aun estoy en la facultad) y dejame te digo que las demostraciones que he visto de esto han sido tan formales que terminas con dolor de cabeza al verlas, tu demostracion cumple con todos los requisitos de una buena demostracion, a saber; es corta, clara y desde luego hermosa, gracias por publicarla, saludos.

Autor: Fermat | Fecha: Feb 29, 2012.

como puedo demostrar para x3+ 2x es divisible por 3

Autor: jose | Fecha: Abr 12, 2012.

@jose: No estoy seguro de entender, pero si x es una variable por ejemplo para x=2, x3+2x es (2)*3+ 2*(2)= 10 q no es divisible por 3. y si x es la posicion de la cifra, tampoco se cumple, pudieras explicar un poco mejor?

Autor: Tomy | Fecha: Abr 26, 2012.

:) gracias me ayudaron demaciado una broma WEONES
tengo 39 años

Autor: verona andrea navarroo | Fecha: Jun 14, 2012.

:) :( :P :D xd :O :S XC :* :A por felicitaciones

Autor: karen | Fecha: Jun 14, 2012.

siiiiiiiiii me sirvio

Autor: lizeth | Fecha: Jul 17, 2012.

hola queria hacerle una pregutas es asi ¿existe almenos un numero q sea divisible x 3 pero no x 9?

Autor: mikaela | Fecha: Oct 10, 2012.

=) y puede ser q me puedan dar ejemplos ???

Autor: mikaela | Fecha: Oct 10, 2012.

Uno no, hay cientos de ejemplos… 6,12,15,21… todos los multimplos de 3 que no sean múltiplos de 9, o sea, excluir 9,18,27,36… ;)

Autor: Tomy | Fecha: Oct 22, 2012.

pues hay algunos que teneis suerte de aprender la divisibilidad y el minimo comun multiplo en el insti porque nosotros lo aprendimos en 4º-5º de Primaria y es en serio ¬¬
ahora voy a 6º Primaria y otra vez estamos estudiando y repasando ¬¬

Autor: Anni | Fecha: Oct 23, 2012.

@Pues sabrán los criterios Anni, pero estoy seguro que no saben de donde sale el criterio o como demostrarlo ;)

Autor: Tomy | Fecha: Oct 30, 2012.

me sirvieron mucho jejjjjejjjjeeejje

Autor: LIZBETH | Fecha: Nov 13, 2012.

excelente aportacion, muy clara y concisa ;) gracias

Autor: karina | Fecha: Feb 17, 2013.

aa Si yaa Lee eenttheendeeree maas Jii Jii

Autor: omaar | Fecha: Feb 23, 2013.

ja ya lo cache jeje

Autor: lucy | Fecha: Mar 18, 2013.

hola n0 entendi
de todos modos gracias

Autor: roberto | Fecha: Abr 1, 2013.

puxa…no me ayudaron en nd..!!!!!!!

Autor: diana | Fecha: May 30, 2013.

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